Kotne funkcije v pravokotnem trikotniku - osnove

Vse se začne s pravokotnim trikotnikom in razmerji med njegovimi stranicami. To je temelj, ki ga moraš obvladati, ker se na to navezuje vse ostalo.

V pravokotnem trikotniku imaš tri stranice: nasprotno kateto (nasproti kotu α), priležno kateto (ob kotu α) in hipotenuzo (najdaljša stranica). Kotne funkcije so preprosto razmerja med tema stranicama.

Zapomni si kratico SOH-CAH-TOA: Sinus = nasprotna/hipotenuza, Kosinus = priležna/hipotenuza, Tangens = nasprotna/priležna. To ti bo pomagalo pri vseh izračunih.

Pozor! Te definicije delujejo samo za ostre kote (med 0° in 90°). Za večje kote potrebuješ enotsko krožnico.

Definicije kotnih funkcij

Tukaj so štiri glavne kotne funkcije za ostri kot α, ki jih moraš znati na pamet:

Sinus: sin α = nasprotna kateta/hipotenuza = a/c Kosinus: cos α = priležna kateta/hipotenuza = b/c
Tangens: tan α = nasprotna kateta/priležna kateta = a/b Kotangens: cot α = priležna kateta/nasprotna kateta = b/a

Te formule uporabljaj pri vseh nalogah s pravokotnimi trikotniki. Če imaš podan kot in eno stranico, lahko izračunaš vse ostale.

Problem nastane, ko hočeš izračunati kotne funkcije za kote, večje od 90°. Tu ti pomaga enotska krožnica - krožnica s polmerom 1 in središčem v koordinatnem izhodišču.

Prehod na enotsko krožnico

Enotska krožnica ti omogoča, da definiraš kotne funkcije za katerikoli kot, ne samo za ostre. Njena enačba je x² + y² = 1.

Postopek je enostaven: nariši kot α od pozitivne osi x (v nasprotni smeri urinega kazalca). Kjer premični krak seka krožnico, je točka T(x,y).

Tukaj pride genialnost: koordinati te točke sta kar vrednosti kotnih funkcij! Kosinus je x-koordinata, sinus pa y-koordinata točke T.

Ključno spoznanje: cos α = x in sin α = y. Iz tega lahko izpelješ tudi tan α = y/x in cot α = x/y (če niso nič).

Formule na enotski krožnici in predznaki

Na enotski krožnici velja: cos α = x, sin α = y, tan α = sin α/cos α in cot α = cos α/sin α.

Najpomembnejša formula v trigonometriji je temeljna trigonometrična identiteta: cos² α + sin² α = 1. To moraš znati na pamet!

Predznaki po kvadrantih so ključni za pravilne rezultate:

• I. kvadrant $0°-90°$: vse funkcije pozitivne
• II. kvadrant $90°-180°$: samo sinus pozitiven
• III. kvadrant $180°-270°$: samo tangens in kotangens pozitivna
• IV. kvadrant $270°-360°$: samo kosinus pozitiven

Pomnjalni trik: "Vsi Študentje Trigonometrije Cenijo" - V prvem so Vse pozitivne, v drugem Sinus, v tretjem Tangens, v četrtem Cosinus.

Vrednosti za pomembne kote

Te vrednosti moraš znati popolnoma na pamet - brez njih ne moreš rešiti nobene naloge na maturi:

0°: sin = 0, cos = 1, tan = 0 30°: sin = 1/2, cos = √3/2, tan = √3/3 45°: sin = √2/2, cos = √2/2, tan = 1
60°: sin = √3/2, cos = 1/2, tan = √3 90°: sin = 1, cos = 0, tan = nedefiniran

Opomni si, da tan 90° ni definiran, ker bi delil z nič $cos 90° = 0$. Enako velja za cot 0° in cot 180°.

Učni nasvet: Naredi si kartonček in se vsak dan sprašuj te vrednosti, dokler jih ne znaš avtomatsko. To ti bo prihranilo ogromno časa na testih.

Rešeni primeri - pravokotni trikotnik in enotska krožnica

Primer iz pravokotnega trikotnika: Če je hipotenuza = 10 cm in kot α = 30°, potem a = 10 × sin 30° = 10 × 1/2 = 5 cm in b = 10 × cos 30° = 10 × √3/2 = 5√3 cm.

Primer z enotsko krožnico: Za sin 210° najprej ugotoviš, da je 210° v III. kvadrantu (med 180° in 270°). Tu je sinus negativen.

Referenčni kot je 210° - 180° = 30°. Torej sin 210° = -sin 30° = -1/2. Podobno cos 210° = -cos 30° = -√3/2, tan 210° = √3/3 (pozitiven v III. kvadrantu).

Strategija: Pri kotih izven I. kvadranta vedno find referenčni kot in nato pravilno določi predznak glede na kvadrant.

Primer z osnovno zvezo

Naloga: Če je sin α = 4/5 in je α v II. kvadrantu, izračunaj cos α in tan α.

Uporabiš temeljno zvezo: sin² α + cos² α = 1 $4/5$² + cos² α = 1 16/25 + cos² α = 1 cos² α = 9/25 cos α = ±3/5

Ker je α v II. kvadrantu, je kosinus negativen, torej cos α = -3/5.

Za tangens: tan α = sin α/cos α = $4/5$/$-3/5$ = -4/3 (negativen, ker smo v II. kvadrantu).

Pomembno: Vedno preveri, ali se predznak ujema s kvadrantom, v katerem se nahaja kot!

Hiter pregled za test

Osnove: SOH-CAH-TOA za pravokotne trikotnike. Enotska krožnica: cos α = x, sin α = y, kjer je T(x,y) presečišče.

Temeljna zveza: sin² α + cos² α = 1 (to moraš znati!)

Predznaki: I-vse pozitivne, II-samo sin, III-samo tan/cot, IV-samo cos.

Ključne vrednosti: 0°, 30°, 45°, 60°, 90° - naučiti se na pamet!

Prevedba na I. kvadrant: II.kv: 180°-α, III.kv: α-180°, IV.kv: 360°-α.

Zadnji nasvet: Periodičnost - sin in cos se ponavljata vsake 360°, tan in cot pa vsake 180°. To ti pomaga pri večjih kotih.